воскресенье, 17 ноября 2013 г.

Задачи для подготовки к олимпиаде


1.        Автобус прошел  первые 4 км со средней скоростью 20км/ч., а следующие 12 км со средней скоростью 40км/ч. Определите среднюю скорость автобуса на всем пути.                      (5б.)
2.        Какое количество теплоты потребуется для превращения в воду льда массой 2 кг, взятого при 0 °С и при нагревании образовавшейся воды до температуры 30 °С. (5б.)
3.      К первому динамометру подвесили груз массой m1 = 100 г, к грузу подвесили второй
динамометр, а к нему подвесили груз массой m2 = 70 г. Какими будут показания динамометров, если масса второго динамометра равна m = 30 г? Ускорение свободного падения равно 9,8 Н/кг. (5 баллов)
4.     В электрическую цепь последовательно включены лампочка сопротивлением  R1 = 13 ом. И две спирали сопротивлением  R2 = 3 ом. И  R3 = 2 ом. Общее напряжение в цепи 36В. Определите силу тока в цепи, а также напряжение на каждом участке.   (3б.)

Ф = (B0+kza2+LI.
В начальный момент времени z = 0, I = 0, т.е. Ф = B0a2. Отсюда LI = -kza2.
Силы Ампера, действующие на противоположные участки контура, параллельные оси x, взаимно компенсируют друг друга (они стремятся деформировать контур, действуя вдоль оси y). Силы Ампера, действующие на участки контура, параллельные оси y, удваиваются:

Fz = 2a|kx|L = Q2kL,
где x = ±a/2.
При x > 0 сила направлена вниз, а при x < 0 сила направлена вверх. Таким образом, уравнение движения для контура примет вид

maz = a2kI-mg = - a4k2z
L
-mg.
Получилось уравнение линейного осциллятора (например, пружинного маятника) со следующим положением равновесия:

z0 = - mgL
a4k2
.
Следовательно, решение можно искать в виде:

z = - mgL
a4k2
+Acos(wt+j)  и  vz = -Awsin(w+j),
где w = a2k/(Lm)1/2. Так как по условию vz = 0 при t = 0, имеем j = 0. Таким образом,

z = - mgL
a4k2
+Acoswt.
Поскольку z = 0, если t = 0, имеем

A = mgL
a4k2
.
Окончательно находим

z = Lmg
a4k2
(-1+coswt).
Заметим, что линии магнитной индукции представляют собой гиперболы, лежащие в плоскости y = const.
2.

Из треугольника расстояний рассчитаем угол a, который нужно "превысить", чтобы корабль не столкнулся с астероидом:

sina = D
ж
з
и
L+ D
2
ц
ч
ш
,    a » 17°.

Picture 4

Из треугольника скоростей найдем максимальный угол, под которым может двигаться корабль при оптимальной ориентации аварийных двигателей:

sinamax = U
V
= 300м/c
1000м/c
,
откуда

amax » 17,5°.
Поэтому в принципе катастрофы можно избежать.
Замечание: Если дополнительную скорость U направить перпендикулярно основной V, то tg a0 = U/V,  a0 » 16,7°, т.е. a0 = a. В этом случае произойдет столкновение.
4.

Пусть сила F приложена к левой ручке доски.

Picture 5

Эта сила вызывает в точках A и B реакции стенок серванта. Каждую из этих реакций можно разложить на составляющие N1, N2, нормальные к стенкам серванта, и T1, T2, касательные к тем же стенкам (силы трения). Предполагая, что доску вытащить нельзя, мы должны сделать следующие предположения:
1) сила F должна быть равна сумме сил трения, чтобы не было поступательного движения доски, т. е. F = T1+T2;
2) момент силы F относительно центра доски должен быть равен сумме моментов нормальных реакций относительно того же центра доски, чтобы не было вращения доски, т. е.

F·a/2 = (N1+N2)L/2.
Кроме того, по определению имеем

N1/T1 = N2/T2 = k.
Исключая из уравнений силу F, получаем, что наименьшее значение коэффициента трения должно равняться L/a. При большем его значении вытащить доску из серванта, действуя на одну из ручек, невозможно.
5.

Насыщенный пар при 100°С создает давление, равное атмосферному: P0 = 105 Па. Из уравнения Менделеева-Клапейрона получаем

P0h/T0 = P(h+x)/T,
где P - давление воздуха под цилиндром при 100° C, T0 = 273 K, T = 373 K, x - искомое смещение уровня воды. Равенство давлений на глубине x под водой дает уравнение P0+P = P0+rgx, где r - плотность воды. Учитывая, что P0 = rgH и H = 103 см, получаем уравнение:

x2+hx+hHT/T0 = 0.
Решив это уравнение, находим

x » (hHT/T0)1/2 = 37 см.

Комментариев нет:

Отправить комментарий